1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Задачи с бассейном и двумя трубами как решить

Решение задач на совместную работу

Главная > Решение

Тема. Задачи на совместную работу (бассейн)

Ребята! Здравствуйте! Ознакомьтесь с основными понятиями по данной теме и разберите предложенные задачи. Советую Вам сначала попробовать самостоятельно составить математическую модель к задаче, затем проверить решение. Если возникнут вопросы по решению, можно их задать и получить консультацию по адресу:

1) Обычно объём работы принимают за единицу. В задачах с бассейнами и трубами объём бассейна принимают за единицу. Но можно также обозначить любой буквой (произвольной постоянной).

2) Производительность работы — это количество работы, выполненной за единицу времени.

Например, если одна труба наполняет бассейн за 5 часов, то за

1 час она наполнит бассейна. Если токарь выполняет задание за 12 дней, то за 1 день он выполнит часть задания.

3) При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определенного объема работы, используют формулу

где А — количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу), t — время выполнения всего количества работы, P— производительность труда, т. е. количество работы, выполняемой в единицу времени.

Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним субъектом за t1, а вторым — за t2 единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объема работы равна

Решение задач на совместную работу

Пример 1. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая труба может наполнить бассейна на 8 ч быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба?

Решение. Типовая задача на работу. Пусть 1-я труба наполняет бассейн за х(ч), а 2-я за – у(ч). Тогда + – объем, наполняемый обеими трубами вместе за 1ч. Так как две трубы наполняют бассейн за 3 ч, то за 1ч они наполнят объема бассейна. Уравнение + = ; по условию у – х = 8. Из системы х = 4; у = 12.

Замечание. Чтобы вместо дробно – рациональных уравнений получить линейные за неизвестную величину иногда рациональнее принять производительность.

Пример 2. Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 часа. Первая, вторая и четвертая заполняют за 6 часов. Вторая, третья и четвертая – за 5 часов. За сколько часов заполняют бассейн первая и третья трубы?

Решение. Пусть x, y, z, u – производительности 1-й, 2-й, 3-й и 4-й труб.(Если за неизвестное принять время выполнения всего объема работы, то уравнения получатся сложнее). Тогда получаем систему уравнений

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем z = ; из 1-го 3-е, что – х = .

Общая производительность 1 и 3 труб z + x = .

Тогда искомое время = 7,5 ч

Пример 3. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в течение часа из первой трубы вытекает па 50% больше воды, чем из второй?

Решение. Пусть х л воды в час вытекает из первой трубы (производительность 1трубы), у л воды в час вытекает из второй трубы (производительность 2трубы), тогда за 1 час обе трубы наполнят (х + у) л или бассейна.

В течение часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй, то есть х = 1,5у.

Тогда .

Таким образом, за 1 час первая труба наполняет бассейна, а вторая бассейна. То есть первая труба наполнит весь бассейн за 10 часов, а вторая — за 15 часов.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

Пример 4. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй — через 2 ч после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м 3 воды, а второй и третий вместе 28 м 3 . Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м 3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м 3 ?

Читать еще:  Остекление балконов и утепление отделка балкона шкафы

Составим следующую таблицу.

воды выкачивает за час насос (м 3 |ч)

Решение текстовых задач на совместную работу. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

  • научить находить способ решения задач с помощью использования опорных задач на совместную работу;
  • научить использовать арифметический способ решения текстовых задач,
  • развивать смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы и отвечать на них.

1. Организационный момент.

Учитель: Добрый день, ребята! Самое главное в математике – умение решать текстовые задачи. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Д. Пойа: “Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано…”.

2. Этап подготовки к активному усвоению знаний.

Учитель: У каждого из вас лежат карточки с опорными задачами типа А (задача 1), В (задача 2), С (задача 3). Ученики читают опорные задачи.

Задача 1 (тип задачи А). Бассейн наполняется за 10 часов. Какая часть бассейна наполняется за 1 час?

Решение: 1 : 10 = часть бассейна наполнится за 1 час. Ответ: .

Задача 2 (тип задачи В). В каждый час первая труба наполняет бассейн бассейна, а вторая – бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной работы?

Решение: часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час.

Ответ: .

Задача 3 (тип задачи С). В каждый час труба наполняет бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Решение: 1: = 6 часов – время для наполнения бассейна. Ответ: 6 часов.

Учитель: Итак, отправляемся в путь. Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают.

  • Сколько минут содержится в половине, в трети, в четверти часа?
  • Работу выполнили за 4 часа. Какую часть работы выполняли в каждый час?
  • Путник проходит в час пути. За сколько часов он пройдет весь путь?
  • Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. На какую часть первоначального расстояния они сближались в каждый час?

3. Этап закрепления знаний.

Учитель: Есть много старинных задач на совместную работу, вот одна из них. Старинная задача из математической рукописи XVII века: “Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый:
– Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года.
А другой молвил:
– Я бы поставил его в шесть лет.
Оба решили сообща ставить двор. Сколь долга они ставили двор?”

Выслушать мнение ребят по поводу решения старинной задачи, разобрать затруднения, возникшие у ребят, при решении задачи на совместную работу.

Учитель: При совместной работе складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники.

  1. часть всей работы выполнит первый плотник за 1 год;
  2. часть всей работы выполнит второй плотник за 1 год;
  3. + = часть всей работы выполнит первый и второй плотники за 1 год.
  4. 1 : = 2 (года) время выполнения всей работы сообща.

Вывод: при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за 1 – “целое”, а часть работы, выполненная за единицу времени, находится по формуле.

Учитель: Разберем решение двух задач (текст задач на карточках).

Задача 1. В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за 8 часов, а третья – за 24 часа. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу 3 трубы?

  1. 1: 4 = (водоема) наполнится через 1 трубу за 1 час;
  2. 1 : 8 = (водоема) наполнится через 2 трубу за 1 час;
  3. 1 : 24 = (водоема) наполнится через 3 трубу за 1 час;
  4. (водоема) наполнится через 3 трубы за 1 час;
  5. (часа) время наполнения водоема через 3 трубы.
Читать еще:  Бельевая сушилка на балкон своими руками

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за часа.

Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 часа, а другой – за часа. Через сколько времени они встретятся?

Решение задачи: это тоже задача на “совместную работу”, хотя никто не работает. Но можно считать, что “работа” пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимается за “единицу” и вычисляется часть пути, пройденная каждым пешеходом.

  1. 1: 3 = (расстояния) проходит 1 пешеход за 1 час;
  2. 1 : (расстояния) проходит 2 пешеход за 1 час;
  3. (расстояния) сближаются оба пешехода за 1 час;
  4. (часа) пешеходы встретятся.

Ответ: через часа.

4. Рейтинговая самостоятельная работа.

Учитель: На карточках условия текстовых задач. Вы можете решить одну из предложенных задач по выбору. Решения задач проверяется через проектор.

1) Задача 1 (3 балла) Мастер делает всю работу за 3 часа, а его ученик – за 6 часов.

а) Какую часть работы делает каждый из них за 1 час?
б) Какую часть работы сделают они вместе за 1 час?
в) За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

2) Задача 2 (4 балла) Бассейн заполняется через 2 трубы за 3 часа. Если открыть одну первую трубу, то бассейн наполнится за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу?

3) Задача 3 (5 баллов) Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, цистерна оказалась бы пуста через 12 минут. Оба действовали в течение 4 минут, после чего работал только второй насос, который через 24 минуты выкачал всю остальную нефть. За сколько минут каждый насос, действуя один, мог бы качать всю нефть?

1) Достаточно ли знаний было, чтобы решить задачи?
2) Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
3) Какое открытие вы сделали для себя?

6. Задание на дом: составить по схемам текст задачи с решением.

  1. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2 [Текст]: учебник / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон – М.: Издательство “Ювента”, 2008. – 240 с.
  2. Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. Часть 3 [Текст]: учебник / Л. Г. Петерсон – М.: Издательство “Ювента”, 2005. – с. 59
  3. Шевкин, А. В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики” [Текст]: лекции 1-4. / А. В. Шевкин – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 88 с.
  4. Шевкин, А. В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики” [Текст]: лекции 5-8. / А. В. Шевкин – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 80 с.

Задачи с бассейном и двумя трубами как решить

Задачи на работу

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе А, времени t, в течение которого производится работа, производительности Р – работе, произведенной в единицу времени. Эти три величины связаны с уравнением А=Р* t. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров (сосудов, баков, бассейнов и т.п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу, вообще говоря, можно отнести к группе задач на движение, так как в задачах такого типа можно считать, что вся работа или объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом различаются, причем часть задач на работу имеют свои специфические приемы решения. Так, в тех задачах, в которых объем выполняемой работы не задан, вся работа принимается за единицу.

Пример 1. Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно.

Р е ш е н и е. Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за у дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, а 1/у – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение

Читать еще:  Как утеплить мансарду изнутри своими руками форум

Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая — только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид

Таким образом, имеем систему: 12/x+12/y=1, 8/x+15/y=1

Вычтем из второго уравнения первое, получим: 21/у=1 ? у=21. Тогда 12/х+12/21=1 ? 12/х=3/7 ? х=28.

О т в е т: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.

Пример 2. В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн, и за сколько времени через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?

Р е ш е н и е: Пусть V м 3 – объем бассейна, х м 3 /ч – производительность подающей трубы, у м 3 /ч — отводящей. Тогда V/x ч – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V/у ч – время, необходимое отводящей на осушение бассейна. По условию задачи

Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V/3)(у-х), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:

В задаче необходимо найти V/х и V/у. Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V/х и V/у, записав систему в виде: V/x-V/y=2, V/(y-x)=24 или V/x-V/y=2, y/V-x/V=1/24

Вводя новые неизвестные V/х=а и V/у=b, получаем следующую систему: a-b=2, 1/b-1/a=1/24

Подставляя во второе уравнение выражение a=b+2, имеем уравнение относительно b: 1/b-1/(b+2)=1/24

решив которое найдем b1=6, b2=-8. Условию задачи удовлетворяют первый корень b1=6(ч). Из первого уравнения последней системы находим а=8(ч), т.е. первая труба наполняет бассейн за 8ч.

О т в е т: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч, через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.

Пример 3. Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Р е ш е н и е. Найдем 35% от 240 га: 240 га ? 35%/100%=84 га. Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 га+84 га=324 га. Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х+3) га; 240/х – время работы первой бригады; 324/(х+3) – время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение 324/(x+3)-240/x=2

которое после преобразовании можно записать так: 324x-240x-720=2x 2 +6x

Решив квадратное уравнение, находим х1=24, х2=15. Это норма первой бригады. Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га – вторая; 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га – первая.

Источники:

http://gigabaza.ru/doc/85228.html
http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/590890/
http://lib.repetitors.eu/matematika/42-2009-12-06-18-39-25/2418-2010-09-15-03-49

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector
×
×
×
×