Задачи по математике про бассейны как решать

Решение задач на совместную работу

Главная > Решение

Тема. Задачи на совместную работу (бассейн)

Ребята! Здравствуйте! Ознакомьтесь с основными понятиями по данной теме и разберите предложенные задачи. Советую Вам сначала попробовать самостоятельно составить математическую модель к задаче, затем проверить решение. Если возникнут вопросы по решению, можно их задать и получить консультацию по адресу:

1) Обычно объём работы принимают за единицу. В задачах с бассейнами и трубами объём бассейна принимают за единицу. Но можно также обозначить любой буквой (произвольной постоянной).

2) Производительность работы – это количество работы, выполненной за единицу времени.

Например, если одна труба наполняет бассейн за 5 часов, то за

1 час она наполнит бассейна. Если токарь выполняет задание за 12 дней, то за 1 день он выполнит часть задания.

3) При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определенного объема работы, используют формулу

где А — количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу), t — время выполнения всего количества работы, P— производительность труда, т. е. количество работы, выполняемой в единицу времени.

Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним субъектом за t₁, а вторым — за t₂ единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объема работы равна

Решение задач на совместную работу

Пример 1. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая труба может наполнить бассейна на 8 ч быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба?

Решение. Типовая задача на работу. Пусть 1-я труба наполняет бассейн за х(ч), а 2-я за – у(ч). Тогда + – объем, наполняемый обеими трубами вместе за 1ч. Так как две трубы наполняют бассейн за 3 ч, то за 1ч они наполнят объема бассейна. Уравнение + = ; по условию у – х = 8. Из системы х = 4; у = 12.

Замечание. Чтобы вместо дробно – рациональных уравнений получить линейные за неизвестную величину иногда рациональнее принять производительность.

Пример 2. Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 часа. Первая, вторая и четвертая заполняют за 6 часов. Вторая, третья и четвертая – за 5 часов. За сколько часов заполняют бассейн первая и третья трубы?

Решение. Пусть x, y, z, u – производительности 1-й, 2-й, 3-й и 4-й труб.(Если за неизвестное принять время выполнения всего объема работы, то уравнения получатся сложнее). Тогда получаем систему уравнений

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем z = ; из 1-го 3-е, что – х = .

Общая производительность 1 и 3 труб z + x = .

Тогда искомое время = 7,5 ч

Пример 3. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в течение часа из первой трубы вытекает па 50% больше воды, чем из второй?

Решение. Пусть х л воды в час вытекает из первой трубы (производительность 1трубы), у л воды в час вытекает из второй трубы (производительность 2трубы), тогда за 1 час обе трубы наполнят (х + у) л или бассейна.

В течение часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй, то есть х = 1,5у.

Тогда .

Таким образом, за 1 час первая труба наполняет бассейна, а вторая бассейна. То есть первая труба наполнит весь бассейн за 10 часов, а вторая – за 15 часов.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

Пример 4. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй – через 2 ч после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м 3 воды, а второй и третий вместе 28 м 3 . Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м 3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м 3 ?

Составим следующую таблицу.

воды выкачивает за час насос (м 3 |ч)

Решение текстовых задач на совместную работу. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

• научить находить способ решения задач с помощью использования опорных задач на совместную работу;
• научить использовать арифметический способ решения текстовых задач,
• развивать смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы и отвечать на них.

1. Организационный момент.

Учитель: Добрый день, ребята! Самое главное в математике – умение решать текстовые задачи. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Д. Пойа: “Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано…”.

2. Этап подготовки к активному усвоению знаний.

Учитель: У каждого из вас лежат карточки с опорными задачами типа А (задача 1), В (задача 2), С (задача 3). Ученики читают опорные задачи.

Задача 1 (тип задачи А). Бассейн наполняется за 10 часов. Какая часть бассейна наполняется за 1 час?

Решение: 1 : 10 = часть бассейна наполнится за 1 час. Ответ: .

Задача 2 (тип задачи В). В каждый час первая труба наполняет бассейн бассейна, а вторая – бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной работы?

Решение: часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час.

Ответ: .

Задача 3 (тип задачи С). В каждый час труба наполняет бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Решение: 1: = 6 часов – время для наполнения бассейна. Ответ: 6 часов.

Учитель: Итак, отправляемся в путь. Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают.

• Сколько минут содержится в половине, в трети, в четверти часа?
• Работу выполнили за 4 часа. Какую часть работы выполняли в каждый час?
• Путник проходит в час пути. За сколько часов он пройдет весь путь?
• Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. На какую часть первоначального расстояния они сближались в каждый час?

3. Этап закрепления знаний.

Учитель: Есть много старинных задач на совместную работу, вот одна из них. Старинная задача из математической рукописи XVII века: “Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый:
– Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года.
А другой молвил:
– Я бы поставил его в шесть лет.
Оба решили сообща ставить двор. Сколь долга они ставили двор?”

Выслушать мнение ребят по поводу решения старинной задачи, разобрать затруднения, возникшие у ребят, при решении задачи на совместную работу.

Учитель: При совместной работе складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники.

1. часть всей работы выполнит первый плотник за 1 год;
2. часть всей работы выполнит второй плотник за 1 год;
3. + = часть всей работы выполнит первый и второй плотники за 1 год.
4. 1 : = 2 (года) время выполнения всей работы сообща.

Вывод: при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за 1 – “целое”, а часть работы, выполненная за единицу времени, находится по формуле.

Учитель: Разберем решение двух задач (текст задач на карточках).

Задача 1. В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за 8 часов, а третья – за 24 часа. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу 3 трубы?

1. 1: 4 = (водоема) наполнится через 1 трубу за 1 час;
2. 1 : 8 = (водоема) наполнится через 2 трубу за 1 час;
3. 1 : 24 = (водоема) наполнится через 3 трубу за 1 час;
4. (водоема) наполнится через 3 трубы за 1 час;
5. (часа) время наполнения водоема через 3 трубы.

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за часа.

Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 часа, а другой – за часа. Через сколько времени они встретятся?

Решение задачи: это тоже задача на “совместную работу”, хотя никто не работает. Но можно считать, что “работа” пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимается за “единицу” и вычисляется часть пути, пройденная каждым пешеходом.

1. 1: 3 = (расстояния) проходит 1 пешеход за 1 час;
2. 1 : (расстояния) проходит 2 пешеход за 1 час;
3. (расстояния) сближаются оба пешехода за 1 час;
4. (часа) пешеходы встретятся.

Ответ: через часа.

4. Рейтинговая самостоятельная работа.

Учитель: На карточках условия текстовых задач. Вы можете решить одну из предложенных задач по выбору. Решения задач проверяется через проектор.

1) Задача 1 (3 балла) Мастер делает всю работу за 3 часа, а его ученик – за 6 часов.

а) Какую часть работы делает каждый из них за 1 час?
б) Какую часть работы сделают они вместе за 1 час?
в) За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

2) Задача 2 (4 балла) Бассейн заполняется через 2 трубы за 3 часа. Если открыть одну первую трубу, то бассейн наполнится за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу?

3) Задача 3 (5 баллов) Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, цистерна оказалась бы пуста через 12 минут. Оба действовали в течение 4 минут, после чего работал только второй насос, который через 24 минуты выкачал всю остальную нефть. За сколько минут каждый насос, действуя один, мог бы качать всю нефть?

1) Достаточно ли знаний было, чтобы решить задачи?
2) Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
3) Какое открытие вы сделали для себя?

6. Задание на дом: составить по схемам текст задачи с решением.

1. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2 [Текст]: учебник / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон – М.: Издательство “Ювента”, 2008. – 240 с.
2. Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. Часть 3 [Текст]: учебник / Л. Г. Петерсон – М.: Издательство “Ювента”, 2005. – с. 59
3. Шевкин, А. В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики” [Текст]: лекции 1-4. / А. В. Шевкин – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 88 с.
4. Шевкин, А. В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики” [Текст]: лекции 5-8. / А. В. Шевкин – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 80 с.

Мини проект -Подготовка к ГИА-9 кл-Задачи с трубами и насосами.

В ходе подготовки к ГИА по математике, рассмотрены решения текстовых задач на вливания через трубы в бассейн. Задания относятся ко 2 части.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Задачи с трубами, насосами и бассейнами Автор работы: Ивушкина Екатерина-Ученица 9 «Б» класса (Учитель- Красичкова И.Е.) ) МБОУ Наро-Фоминская СОШ № 4 сУИОП

Алгоритм решения таких задач: Внесем в таблицу известные величины ( работу примем за 1) Одну из неизвестных величин обозначим за х . Остальные неизвестные величины выразим через х, используя условие задачи или формулы. Составим уравнение. Решим уравнение и ответим на главный вопрос задачи.

Задача № 1 Для наполнения плавательного бассейна водой имеются три насоса. Первому насосу для наполнения бассейна требуется времени в три раза меньше, чем второму, и на 2 ч больше, чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 3ч, но по условиям эксплуатации одновременно должны работать только два насоса. Определите минимальную стоимость наполнения бассейна, если 1ч работы любого из насосов стоит 140 рублей.

Решение Работа t Производительность 1 1 X+2 1 /x+2 2 1 3(х+2) 1 /3(x+2) 3 1 Х 1 /x Вместе 1 3 1 /3 Сделаем таблицу и в внесем в нее данные

Решение Составим и решим уравнение 1)1/х+2 + 1/3(х+2) + 1/х = 1/3 Решив уравнение, мы найдем х=6 6ч- время наполнения бассейна третьим насосом. 2)Теперь найдем время 1 и 2 насосов: 6+2 = 8( часов)- время наполнения бассейна первым насосом 3(6+2) =24 ( часа) – время наполнения бассейна первым насосом 3) Теперь находим минимальное время работы двух насосов 1 насос + 2 насос = 8+24=32 1 насос+3 насос = 8 + 6=14 2 насос + 3 насос = 24+6 = 30 14 часов – минимальное время работы двух насосов 5)Определим минимальную стоимость наполнения бассейна двумя насосами. 140*14=1960(руб.) Ответ: 1960 руб.

Задача № 2 При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 2 ч быстрее другого?

Решение t A V 1 Х-2 1 1 / х-2 2 Х 1 1 / х V (совм.) = 1 / х-2 + 1 / х 2 часа 55 минут = 35 /12 часа Составим и решим уравнение : (1 / х-2+1 / х)*35 / 12=1

Решение уравнения (1 / х-2+1 / х)*35 / 12=1 х+(х-2)/х(х-2)*35/12=1 35(х-1)/6х(х-2)=1 35х-35 – 6х(х-2)/6х(х-2)=0 -6х 2 +47 х-35=0 D= (47) 2 – 4*6*35=1369 Найдем корни уравнения. Получим : Х 1 =7 Х 2 =5/6 – удовлетворяет условию задачи

Ответ на вопрос задачи № 2 За 7 часов работу совершит второй насос 7-2 = 5 часов – совершит работу второй насос Ответ : 5 часов, 7 часов .

Задача № 3 а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч , а через вторую — за 30 ч . За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы? б) В бассейн 3888 литров выходят три трубы, первая наполняет бассейн за 9, часов, вторая за 12, третья за 18. За сколько часов наполнят бассейн три трубы одновременно? Решить самостоятельно

Источники:

http://gigabaza.ru/doc/85228.html
http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/590890/
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2018/03/02/mini-proekt-podgotovka-k-gia-9-kl-zadachi-s